重复测量方差分析 (Repeated-measures ANOVA)

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学习/心理学

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本章概览

在进行被试内设计实验后，如果实验前后有多于两组数据，那么在数据分析时我们需要运用重复测量方差分析的统计手段。与独立组 ANOVA 相比，不同点在于 SS 组内可以进一步分解为 SS 被试间 + SS 误差。通过比较 Fobs 与 Fcrit 的大小，可以判断实验前后有无显著差别。如果有显著差别，可以进一步进行事后检验，并计算效应。

学习要点

1. 区分独立组 ANOVA 与重复测量 ANOVA
2. 理解重复测量 ANOVA 的方差分解
3. 学会计算 F 值并利用 F 检验完成重复测量 ANOVA
4. 掌握重复测量 ANOVA 事后检验的方法
5. 掌握重复测量 ANOVA 的统计前提
6. 学会计算重复测量 ANOVA 的效应值，并通过统计效力计算需要的被试数目

重复测量方差分析适用的情境

与独立样本设计不同，重复方差设计中，每个被试都参加了自变量所有水平下的测试，因此组间的变异不包括个体差异的影响，但是每一水平之内仍然是由不同的被试共同完成的。和独立样本相比，重复测量设计所需要的被试数目减少，更为经济。

重复测量方差分析的方差分解

• SS总和 = SS组间 + SS组内 = SS组间 + SS被试间 + SS误差

$$\sum (X_i-\bar{X}{)}^2=\sum ({\bar{X}}_T-\bar{X}{)}^2+\sum (X_i-{\bar{X}}_T{)}^2=\sum ({\bar{X}}_T-\bar{X}{)}^2+\sum ({\bar{X}}_P-\bar{X}{)}^2+Error$$

• 注：重复测量方差分析中，由于不考虑被试间的变异性（即个体差异），所以 $S{S}_{\text{组内}}$ 只需考虑$S{S}_{\text{误差}}$

和方的计算公式

• $k$ = 处理条件（或组）的数目
• $n$ =  每一个组的样本量（如果它们相等）
• $N$ = $\sum n_i$ = 总的观察数目
• $T_i$ = $\sum _j{X}_{ij}$ =第 $i$ 组观测值的总和
• $G$ = $\sum T_i$  总的和
• $S{S}_i$ = 每一个组的和方的和 = $\sum (X_{ij}-{\bar{X}}_i{)}^2$
• $P_i$ = 每一个被试的观测值的总和
• $S{S}_{\text{和}}=\sum X^2-{\displaystyle \frac{G^2}{N}}$
• $S{S}_{\text{组间}}=\sum {\displaystyle \frac{T_i^2}{n_i}}-{\displaystyle \frac{G^2}{N}}$
• $S{S}_{\text{组内}}=\sum S{S}_i$
• $S{S}_{\text{被试间}}=\sum {\displaystyle \frac{P_i^2}{k}}-{\displaystyle \frac{G^2}{N}}$
• $S{S}_{\text{误差}}=S{S}_{\text{组内}}-S{S}_{\text{被试间}}$

自由度

共有5个自由度, 2个计算均方时要用到

1. 总的 $df=N-1$
2. 组间方差 $df=k-1$
3. 组内方差 $df=N-k$
4. 被试间方差 $df=n-1$
5. 误差方差 $df=(N-k)-(n-1)=N-k-n+1$

重复测量方差分析的F值计算

1. 陈述假设，一般只需给出虚无假设H0；
2. 给出显著性水平；
3. 确定检验的自由度；
4. 由分子分母的自由度，确定F值的临界值；
5. 计算样本的F统计量。

• F=组间平均变异 / 误差平均变异

重复测量方差的事后检验

ANOVA得到一个两点决策，但并未知道差异存在在哪些组之间。这时我们需要进行事后检验，这使得我们能够比较各个组，找到差异存在在哪些组之间。事后检验就是比较每一个处理组和另一个处理组，一次比较两个，称为成对比较。

重复测量方差的 Tukey's HSD 检验

重复测量方差HSD值的计算和单因素方差分析的HSD值计算有所不同。

重复测量方差HSD值的计算如下：

$$HSD=q\sqrt{{\displaystyle \frac{M{S}_{\text{误差}}}{n}}}$$

公式中用误差的和方，自由度，均方代替原来分母项的组内和方，自由度，均方。 其中q值可以从表中查出，需要用到 $K$（处理数），$d{f}_{\text{误差}}$ 以及显著性水平 $\alpha$。

得到 HSD 值之后，将样本两两均值之差与 HSD 值作比较，大于 HSD 值则认为这两组之间有显著差异。

重复测量方差分析的统计前提

• 每个处理条件内的观察都是独立的；
• 每个处理条件内的总体分布是正态分布；
• 每个处理条件间的方差同质。

重复测量方差分析的效应大小

重复测量方差分析(Repeated measures ANOVA)的效应大小：

$${\eta }^2={\displaystyle \frac{S{S}_{\text{组间}}}{S{S}_{\text{组间}}+S{S}_{\text{误差}}}}$$

单因素组间方差分析 (One-way between-groups ANOVA) 的效应大小 (Cohen’s f，可以写作 f) ：

$$f=\sqrt{{\displaystyle \frac{F_{effect}\times d{f}_{effect}}{d{f}_{error}}}}$$

两者间的关系：

$$f=\sqrt{{\displaystyle \frac{{\eta }^2}{1-{\eta }^2}}}$$

重复测量方差分析的统计效力

贡献者

芷沐沐

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