集中量数与差异量数

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集中量数：分布的中间位置的情况，也叫集中趋势，用来估计和预测总体的情况。
差异量数：描述数据分布的变异性，是对分布的延伸和聚集状态程度的定量化描述，用来衡量估计和预测的误差大小。

学习要点

学会计算均值，中数和众数；
学会计算标准差，四分位距和全距；
对于给定的分数分布，学会选用适宜的集中量数和差异量数。

集中量数

算术平均数、中数、众数

算术平均数 (mean) 是最常用的，也是最容易理解的一个集中量数指标，计算公式为：

\overset{―}{X} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} f_{1} X_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} f_{i}}

考虑集中量数时，作为首选的集中量数，相比中数和众数，算数平均数的反应最灵敏、最客观且最具代表性。此外，算数平均数还可以进行代数运算，比如，每个观测量都加上一个常数时，算数平均数也会加上一个相同的常数；而每个观测量都乘上一个常数时，算数平均数也会乘上一个相同的常数。

不过，如果数据中存在极端值，那么算数平均数的代表性会受到一定影响。

中数 (median) 又被称为中位数，它将我们所研究的数据分为数目相等的两半，其中一半的值比它小，而另一半的值比它大。

如果数列的总个数 $n$ 为奇数，且最中间的值与相邻的值都不相等，那么最中间的，也就是第 $(n + 1) / 2$ 个数就是这 $n$ 个数的中数。如果 $n$ 是偶数，按照惯例，可以取位于中间的两个数（第 $n / 2$ 个数和第 $n / 2 + 1$ 个数）的平均数作为中数。如果排列好后的数列分布的中间有相等的数，原则上将重复的数字看作一个连续体，利用中间数据的精确上下限进行插值法。

中数只和位置有关，所以对数据变动的反应不够灵敏，不过这恰好使它不易受到极端值的影响。而且中数也不能进行代数运算。

众数 (mode) 是指出现次数最多的那个数或类目，用 $M 0$ 来表示。众数可能有不止一个。

众数也不易受极端值的影响，但是代表性比中数还差，也不可以进行代数运算，因而应用较少。

分布的形状与集中量数

如果将大量数据画成光滑的次数分布曲线，则可以认为：

算术平均数是数据分布的重心或平衡点
中数正好把分布分成相等的两半
分布的最高点对应众数

正偏态分布中，算术平均数＞中数＞众数；负偏态分布中，算术平均数＜中数＜众数；分布对称时，三个值重合。

集中量数的比较

算数平均数

优点：

在计算算数平均数时将所有的数值都纳入了考虑范围，反应了分布的变异；
算数平均数可以进行代数运算；
算数平均数是三种集中量数中最灵敏、最客观且最具有代表性的。

缺点：

算数平均数的代表性会受到极端数值的影响。

中数

优点：

中数只和数据所处的位置有关，因此它不受极端数值的影响。

缺点：

由于只和位置有关，因此中数对数据变动的反应不够灵敏；
中数不能进行代数运算。

众数

优点：

众数相对来说比较直观，容易理解；
众数不受极端值影响；
在命名型的数据中，一般来说只能用众数。

缺点：

反应不够灵敏，代表性差于中数；
不能进行代数运算；
要求数据分布有明显中心。

差异量数

全距、标准差、四分位距

全距 (range)

定义：指分布分数最大值 $X$ 的精确上限和分布分数最小值X的精确下限的差值，用符号 $R$ 表示，又叫极差
例子：若X是离散型， $R = 10 - 5 = 5$ ；若X是连续型， $R = 10.5 - 4.5 = 6$
如果分数是连续型，必须用精确上下限；全距的代表性较差，只依据两个极端值。

标准差 (standard deviation)

定义：描述了分布中每一个个体与某一标准偏移的距离，这个标准就是均值
是最重要最常用的差异量数；包含所有的信息，代表性强。

离差 (Dispersion)
- 定义：某数据点到均值的距离， $离差 = \overset{―}{X} - μ$
- 离差由正负符号和数值组成，如果分数的值大于均值，离差是正数；如果分数的值小于均值，离差是负数；任何一个分布中所有个体的离差值之和必然为零。
和方 (Sum of squares)
- 定义： $S S = \sum (\overset{―}{X} - μ)^{2} = \sum X^{2} - (\sum X)^{2} / N$
- 解决了正负符号的问题
总体的方差和标准差
- 定义：总体的方差是和方除以总体的容量，也被称为均方，总体方差 $σ^{2} = S S / N$ ；总体的标准差是总体方差的平方根，总体标准差 $σ = \sqrt{S S / N}$ 。
样本的方差和标准差
- 样本方差的分母是 $n - 1$ ，即 $S^{2} = S S / (n - 1)$ ，标准差 $S = \sqrt{S S / (n - 1)}$ 。
- 用 $n - 1$ 作分母是用自由度来校正样本离差，以利于对总体参数的无偏差估计
标准差
- 拇指原则：对于对称分布，均值常常在分布的中点，标准差常常在全距的1/4左右
- 对分布中每一个分数加上一个常数不会改变其标准差
- 对分布中每一个分数乘上一个常数，所得分布的标准差是原分布的标准差乘上这个常数

四分位距 (interquartile range)

定义：数据中间50%数据的全距， $I Q R = Q 3 - Q 1$ 。
$Q 1$ 是第一四分位数或者下四分位数，即比 $Q 1$ 小的数据占数据总数的25%； $Q 3$ 是第三四分位数或者上四分位数，即比 $Q 3$ 小的数据占数据总数的75%，四分位距就是指25%和75%之间的距离。
半四分位距又叫四分差，是四分位距的一半，即 $S I Q R = (Q 3 - Q 1) / 2$ 。
四分位距不易受极端分数的影响，适用于有不确定值的数据，常常使用在用中数作为集中量数的情况下。

差异量数的比较

极端分数：全距受影响最大，四分位距受影响最小。
样本大小：全距可能随n增加而增加，四分位距和标准差不会。
样本选取：同一总体多次选取不同样本，全距没有稳定的值，但四分位距和标准差是稳定的。
当存在不确定值的分布时，全距和标准差无法求得，四分位距可求。

	优点	缺点
全距	1. 计算便捷	1. 样本稳定性差 2. 受极端数值的影响 3. 可能与样本量有关
四分差	1. 不易受极端分数的影响 2. 适用于有不确定值的数据	1. 在一定程度上样本稳定性差
标准差	1. 样本稳定性好 2. 包含最多的信息	1. 受极端数值的影响

贡献者

芷沐沐

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学习要点 ​

集中量数 ​

算术平均数、中数、众数 ​

分布的形状与集中量数 ​

集中量数的比较 ​

算数平均数 ​

中数 ​

众数 ​

差异量数 ​

全距、标准差、四分位距 ​

全距 (range) ​

标准差 (standard deviation) ​

四分位距 (interquartile range) ​

差异量数的比较 ​

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